R-árboles, estructuras métricas en sus espacios de finales y algunas aplicaciones a la topología geométrica - Martínez Pérez, Álvaro (Universidad Complutense de Madrid, 2008)
La memoria presenta dos partes diferenciadas, teniendo la primera incidencia en la segunda. La primera parte se centra en el estudio de la geometría a gran escala de los R-árboles en términos de conceptos y técnicas de naturaleza métrica de sus correspondientes espacios de finales. Asimismo se utilizan los resultados encontrados para dar algunas aplicaciones a la teoría de la forma; en este sentido, y esencialmente, se pone de manifiesto una estrecha relación que permite describir de modo novedoso y reformular conceptos y resultados de ésta última en términos de la geometría a gran escala de los R-árboles. Los resultados de esta parte cierran el problema de la clasificación coarse de R-árboles en términos de sus finales y abren la puerta a un tratamiento distinto de las acciones y "casi-acciones" de grupos en R-árboles. También se prueba cómo distintas clasificaciones, todas ellas relacionadas con la geometría a gran escala, de los R-árboles se ven modelizadas por conceptos como continuidad uniforme, funciones lipschitz, bi-Holder, casi-conformes, etcétera, en los espacios de finales. La segunda parte está inspirada, de alguna manera, por la primera aunque las ideas y herramientas proceden también de la Teoría de Sistemas Dinámicos. Se pone de manifiesto cómo una métrica convexa induce una dinámica canónica en el hiperespacio. En este marco se estudia el problema de estudiar los tipos, topológicos, homotópicos, etc, alcanzados por el movimiento inducido en la copia canónica hasta llegar al atractor global del semiflujo que es un punto y por tanto trivial en dichas clasificaciones. Se obtiene también una "geometrización" del semiflujo al reflejar dicho movimiento en un R-árbol construido en la memoria usando funciones de Whitney en los hiperespacios. También se utiliza el semiflujo para diferenciar la "posición" métrica de los puntos en un continuo de Peano. Dicha posición se mide por medio de una especie de función energía asociada canónicamente al movimiento inducido, en el hiperespacio, por la métrica convexa.